Materi kuliah : Linier Programming dengan Metode Grafik: Maksimasi

Linier Programming dengan Metode Grafik: Maksimasi

A. Formulasi Masalah

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah :

1. pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi

2. identifikasikan tujuan dan kendalanya

3. definisikan variabel keputusannya

4. gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara matematis.

Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-.Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?

Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut:

TABEL 1.1 Informasi Permasalahan Krisna Furniture

	Jam kerja untuk membuat 1 unit produk		Total waktu tersedia per minggu
	Meja	Kursi
Pembuatan	4	3	240
Pengecatan	2	1	100
Profit per unit	7	5

Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2).

Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala.

1. Fungsi Tujuan

Tujuan perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut :

P = ($7 x jumlah meja + ($5 x jumlah kursi diproduksi)

Atau secara matematis dapat dituliskan :

Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2

2. Fungsi kendala

Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan.

Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan X1 (meja) dimana untuk membuat satu unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk membuat satu unit kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :

Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan X1 (meja) dimana untuk mengecat satu unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk mengecat satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :

Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1 dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa

X1 ≥ 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

X2 ≥ 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut :

Fungsi tujuan :

Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2.

Fungsi kendala :

4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (kendala departemen pembuatan)

2X1 + 1 X2 ≤ 100 (kendala departemen pengecatan)

X1 ≥ 0 (kendala non negatif pertama)

X2 ≥ 0 (kendala non negatif kedua)

B. Penyelesaian Linear Programming

Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.

Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.

4 X1 + 3 X2 = 240

Kendala ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu.

Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk menggambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat X1 = 0.

Kendala I: 4 X1 + 3 X2 = 240

memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0

4 X1 + 0 = 240

X1 = 240/4

X1 = 60.

memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0

0 + 3 X2 = 240

X2 = 240/3

X2 = 80

Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 80).

Kendala II: 2 X1 + 1 X2 = 100

memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0

2 X1 + 0 = 100

X1 = 100/2

X1 = 50

memotong sumbu X2 pada saat X1 =0

0 + X2 = 100

X2 = 100

Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 100).

Peraga 1.1. Grafik Area Layak

Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi

2 X1 + 1 X2 = 100

X2 = 100 - 2 X1

4 X1 + 3 X2 = 240

4 X1 + 3 (100 - 2 X1) = 240

4 X1 + 300 - 6 X1 = 240

- 2 X1 = 240 - 300

- 2 X1 = - 60

X1 = -60/-2 = 30.

X2 = 100 - 2 X1

X2 = 100 - 2 * 30

X2 = 100 - 60

X2 = 40

Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).

Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala. Sebagaimana nampak pada Peraga 1. 1, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0; 80), B (30; 40), dan C (60; 0).

Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu

1. dengan menggunakan garis profit (iso profit line)

2. dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien X1) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 7).

Dari Peraga 1. 2 dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai X1 = 30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi X1 sebanyak 30 unit, X2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.

Peraga 1. 2. Iso profit line

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).

Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.

Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.

Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.

Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350.

Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar 410.

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan anda mengerjakan latihan berikut ini !

1) Apa yang dimaksud dengan LP?

2) Sebutkan 4 ciri kusus yang melekat pada permasalahan LP.

3) Sebutkan 5 asumsi dasar yang harus dipenuhi dalam penyelesaian permasalahan dengan menggunakan LP.

4) Sebutkan langkah-langkah dalam formulasi permasalahan LP.

5) Apa syarat permasalahan dapat diselesaikan dengan metode grafik?

6) Apa yang dimaksud dengan area layak (feasible region)?

7) Bagaimana cara menentukan solusi optimal dengan menggunakan isoprofit line?

8) Bagaimana cara menentukan solusi optimal denan cara corner point?

RANGKUMAN

LP dengan metode grafik hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dengan 2 variabel keputusan. Dalam penyelesaian permasalahan diawali dengan formulasi permasalahan, kemudian menggambarkan fungsi kendala serta menentukan area layak. Baru kemudian menentukan solusi optimal yang dapat menggunakan 2 pendekatan, yaitu dengan pendekatan garis profit (isoprofit line) atau titik sudut (corner point).

Pilih salah satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang disediakan !

Kasus 1 digunakan untuk menjawab pertanyaan nomor 1 s.d. 5

PT Padat Karya memproduksi dua macam batako: batako semen dan batako kapur. Biaya pembuatan batako semen diperkirakan Rp. 150,- sedang biaya pembuatan batako kapur diperkirakan Rp. 100,-. Batako semen dijual seharga Rp. 400,- dan batako kapur dijual seharga Rp. 250,-.

Untuk pembuatan kedua macam batako tersebut dipergunakan 2 macam mesin: A: mesin pencampur dan B: mesin pencetak. Untuk mencampur batako semen diperlukan waktu 1 jam, dan untuk mencetak batako semen diperlukan waktu 2 jam. Batako kapur dicampur selama 1.5 jam dan dicetak selama 1 jam. Selama satu bulan kapasitas mesin A 320 jam kerja. Sedang kapasitas mesin B adalah 480 jam kerja. Jika tujuan perusahaan memaksimumkan keuntungan , jawablah pertanyaan nomor 1 – 5 berikut ini

TESFORMATIF1

1) Formulasi dalam bentuk Linear Programming dari permasalahan di atas adalah:

A. Fungsi Tujuan Max Z = 400X + 250Y

Fungsi Kendala X + 1,5Y ≤ 320

2X + Y ≤ 480

X ≤ 0

Y ≤ 0

B. Fungsi Tujuan Max Z = 150X + 100Y

Fungsi Kendala X + 1,5Y ≤ 320

2X + Y ≤ 480

X ≥ 0

Y ≥ 0

C. Fungsi Tujuan Max Z = 250X + 150Y *

Fungsi Kendala X + 1,5Y ≤ 320

2X + Y ≤ 480

X ≥ 0

Y ≥ 0

D. Fungsi Tujuan Max Z = 250X + 150Y

Fungsi Kendala X + 2Y ≤ 320

1,5X + Y ≤ 480

X ≥ 0

Y ≥ 0

2) Dari gambar di atas yang merupakan area layak adalah area yang dibatasi titik

A. 0ABC*

B. ABE

C. CDB

D. 0EBD

3) Jumlah batako semen dan batako kapur yang harus diproduksi agar profit maksimum adalah :

A. Batako semen 80 unit dan batako kapur 200 unit

B. Batako semen 200 unit dan batako kapur 80 unit *

C. Batako semen 320 unit dan batako kapur 0 unit

D. Batako semen 0 unit dan batako kapur 480 unit

4) Besarnya keuntungan maksimum adalah :

A. Rp 80.000,-

B. Rp. 72.000,-

C. Rp. 62.000,-*

D. Rp 55.000,-

5) Solusi optimal terjadi pada :

A. Titik A

B. Titik B*

C. Titik D

D. Titik C

Kasus 2 : Digunakan untuk menjawab Pertanyaan nomor 6 – 10

Fungsi Tujuan Max z = 4x1 + 3x2

Fungsi kendala 1x1 + 1x2 ≤ 50 (I)

1x1 + 2x2 ≤ 80 (II)

3x1 + 2x2 ≤ 140 (III)

x1, x2 ≥ 0

Siapkan grafik dari persoalan di atas!

6) Koordinat titik optimal adalah:

A. (0, 40)

B. (20, 30)

C. (40, 10)

D. (10, 40)

7) Kendala II memotong sumbu x1 pada:

A. (0, 40)

B. (40, 0)

C. (0, 80)

D. (80, 0)*

8) Kendala III memotong sumbu x2 pada:

A. (0, 70)

B. (70, 0)

C. (0; 46,67)

D. (46,67; 0)

9) Kendala III memotong sumbu x1 pada:

A. (80, 0)

B. (0, 70)

C. (70, 0)

D. (46,67; 0)

10) Nilai z optimal adalah:

A. 120

B. 170

C. 190

D. 186,67