Permasalahan minimisasi dapat juga diselesaikan secara grafik. Langkah-langkah penyelesaian permasalahan sama dengan penyelesaian permasalahan untuk fungsi tujuan maksimisasi yaitu: formulasi permasalahan, menentukan area layak, serta menentukan solusi optimal.
Dalam menentukan solusi optimal, seperti halnya pada permasalahan maksimisasi, dapat digunakan pendekatan garis profit atau titik sudut. Untuk lebih memahami penyelesaian permasalahan minimisasi berikut dibahas kasus Valentine Meal.
Valentine Meal adalah makanan yang terbuat dari Jagung dan Kacang. Makanan ini memiliki kandungan sekurang-kurangnya 30% Protein dan Serat maksimal 5% sebagaimana tampak pada tabel berikut ini.
Valentine Meal ingin menentukan biaya terendah dari makanan tersebut.
Karena makanan tersebut terbuat dari Jagung dan Kacang, variabel keputusan untuk model tersebut dapat dirumuskan demikian
J = banyaknya jagung yang digunakan untuk campuran makanan
K= banyaknya kacang yang digunakan untuk campuran makanan
Fungsi tujuan adalah meminimumkan biaya dari campuran makanan, yang dirumuskan demikian
Minimize Z = 0,3 J + 0,9 K
Kendala dari model mencerminkan jumlah yang diperlukan dan persyaratan kandungan gizi yang diperlukan. Karena Valentine Meal memerlukan 800 kg makanan per hari, kendala tersebut bisa dirumuskan demikian:
J + K ≥ 800
Kandungan protein dalam jagung (J) dan kacang (K) adalah (0,09 J + 0,6 K). Kandungan protein ini sekurang-kurangnya 30% dari campuran makanan. Oleh karena itu persamaannya menjadi demikian
0,09 J + 0,6 K ≥ 0,3 (J + K)
0,09 J + 0,6 K ≥ 0,3 J + 0,3K
(0,3 J - 0,09 J) + (0,3K - 0,6 K) ≤ 0
0,21 J - 0,3 K ≤ 0
Dengan cara yang sama, kendala dari kandungan serat bisa dirumuskan demikian:
0,02 J + 0,06 K ≤ 0,05 (J + K)
0,02 J + 0,06 K ≤ 0,05 J + 0,05 K
(0,05 J - 0,02 J) + (0,05K - 0,06 K) ≥ 0
0,03 J – 0,01 K ≥ 0
Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Minimize Z = 0,3 J + 0,9 K
Fungsi kendala :
J + K ≥ 800 (kendala kebutuhan makanan per hari)
0,21 J - 0,3 K ≤ 0 (kendala kandungan protein)
0,03 J – 0,01 K ≥ 0 (kendala kandungan serat)
J ≥ 0 (kendala non negatif pertama)
K ≥ 0 (kendala non negatif kedua)
Langkah pertama untuk menyelesaikan kasus Valentine Meal adalah dengan menggambarkan fungsi kendala sebagaimana tampak pada Peraga 1.3.
Peraga 1. 3. Grafik Valentine Meal
Titik potong kendala 1 (Protein: 0.21 J – 0.3 K ≤ 0) dan 3 (Kebutuhan per hari: 1 Jagung + 1 Kacang ≥ 800)
0.21 J - 0.3 K = 0
0.21J = 0.3 K
J = (0.3/ 0.21) K
J + K = 800
(0.3 / 0.21) K + K = 800
2,43 K = 800
K = 800/2,43
K = 329,22 dibulatkan menjadi 329.
J + 329,22 = 800
J = 470,78 dibulatkan menjadi 471.
Jadi titik potong kendala 1 (Protein: 0.21 J – 0.3 K ≤ 0) dan 3 (Kebutuhan per hari: 1 Jagung + 1 Kacang ≥ 800) terletak pada titik B (471, 329).
Titik potong kendala 2 (Serat: 0.03 J – 0.01 K ≥ 0) dan kendala 3 (Kebutuhan per hari: 1 J + 1 K ≥ 800
0.03 J – 0.01 K = 0
0.03 J = 0.01 K
J = (0.01/ 0.03) K
J = 0.33 K
J + K = 800
0.33 K + K = 800
1.33 K = 800
K = 800 / 1.33
K = 600
J + 600 = 800
J = 200
Jadi titik potong kendala 2 (Serat: 0.03 J – 0.01 K ≥ 0) dan kendala 3 (Kebutuhan per hari: 1 J + 1 K ≥ 800) terletak pada titik B (200, 600).
Tanda ≥ pada kendala Serat dan Kebutuhan per hari ditunjukkan pada area sebelah kanan dari garis kendala. Sebagaimana nampak pada Peraga 1.3, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kanan dari titik A (200; 600), B (471; 329), atau di sebelah kanan kendala II dan III serta di sebelah kiri kendala I.
Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu
1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)
2. dengan titik sudut (corner point)
Penyelesaian dengan menggunakan isocost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan ter
sebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 0.3 (koefisien J) dan 0.9 (koefisien K) adalah 270. Sehingga fungsi tujuan menjadi 270= 0.3 J + 0.9 K. Garis ini akan memotong sumbu J pada titik (900, 0) dan memotong sumbu K pada titik (0, 300).
Peraga 1. 3. Garis IsoCost pada Valentine Meal Jagung Kacang
Dari Peraga 1.3 dapat dilihat bahwa iso cost line menyinggung titik A yang merupakan titik terdekat dari titik nol. Titik A ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai J dan K, serta nilai Z pada titik A tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala III (karena titik A merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala III). Dengan menggunakan eliminiasi atau substitusi diperoleh nilai J = 471, K = 329. dan Z = 437. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan biaya minimal adalah J sebanyak 471 unit, K sebanyak 329 unit dan perusahaan akan mengalokasikan biaya sebesar 437.
Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) dari Peraga 1.3 dapat dilihat bahwa ada 2 titik yang dekat yang membatasi area layak, yaitu titik A yang merupakan perpotongan kendala I dan III serta titik B yang merupakan perpotongan kendala II dan III. Untuk penyelesaian dengan menggunakan titk sudut kita mencari nilai Z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai Z yang paling kecil. Titik A nilai J = 471 dan K = 329. Dengan substitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh 0,3 J + 0,9 K = (0,3 x 471) + (0,9 x 329) = 437,4 dibulatkan menjadi 437. dan pada titik B nilai J = 200 dan K = 600. Dengan mensubstitusikan nilai J dan K pada fungsi tujuan, kita peroleh: 0,3 J + 0,9 K = (0,3 x 200) + (0,9 x 600) = 600. Ternyata nilai Z pada titik A lebih kecil daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.
